Vektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Vektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx"

Andreas Sandström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Avsnitt 1 Vektorer 1.1 Skissen nedn visr molekylgeometrin för H 2 O, där syretomen befinner sig i origo och vätetomern lägger symmetriskt kring x-xeln. Bindningslängden är = 96 pm och bindningsvinkeln är = 104,5. y Ange lägesvektorern för de två vätetomern på formen: r = x ˆx + y ˆx θ x 1.2 I ämnet grfen sitter koltomer i ett mönster enligt nedn. 2 1 y x 1 = 2 = p 3ˆx p 3 ˆx + p 3ŷ 2 där =0,14 nm. ) Beräkn vinkeln melln vektorern 1 och 2. b) Den skuggde ren utgör den så kllde enhetscellen för grfen. Enhetscellen innehåller två koltomer. Bestäm ren för enhetscellen. c) Hur mång koltomer skulle ett grfenprov med ren 1 mm 2 innehåll? 1

2 Avsnitt 2 Storheter och enheter 2.1 En liten pendelkul svänger frm och tillbk i ett snöre. Tiden, T som det tr för kuln tt fullbord en svängning kn uttrycks i pendellängden l och tyngdccelertionen, g. Använd enkel dimensionsnlys för tt vgör vilket v nednstående uttryck som är rimligt. l r l i) T =2 g r g ii) T =2 l iii) T =2 l g iv) T =2 g l 2.2 Då mn nlyserr en boll som fller fritt får mn följnde uttryck: Vilken dimension hr konstntern C och D? v(t) =v 0 + Ce Dt,t>0 2.3 I en instruktionsbok till en centrifug finner mn nednstående instruktion hur mn omvndlr melln olik enheter. Centrifugl Force Conversion rpm = 1000 p RCF/1.12r RCF = reltive centrifugl force (g) RPM = centrifuge speed in revolutions per minute r = rdius of rotor in mm Det som klls RCF uttrycks i multipler v tyngdccelertionen, g, och hr lltså dimensionen L/T 2. Kontroller tt höger- och vänsterled hr smm dimension. 2

3 Avsnitt 3 Kinemtik Rätlinjig rörelse 3.1 Kombiner följnde storheter med sin SI-enhet. 1. hstighet (velocity) A. m 2. frt (speed) B. s 3. ccelertion C. m/s 4. sträck (distnce) D. m/s 2 5. förflyttning (displcement) E. kg 3.2 En regndroppe fller rkt mot mrken ifrån ett regnmoln på höjden 0,80 km över mrken. ) Hur stor hstighet skulle droppen h då den når mrken, om den inte utsttes för något luftmotstånd? Uttryck ditt svr i enheten km/h. b) Hur stor medelhstighet skulle droppen h under fllet? 3.3 En prtikel rör sig längs x-xeln. Dess läge som funktion v tiden, t, ges v: x(t) = t 3 +3t 2 +2 m för 0 pple t pple 3s. ) Vid vilken tidpunkt är prtikeln tillbk vid sitt initilläge? b) Bestäm prtikelns initilhstighet. c) Hur stor är medelhstigheten under tiden 0 pple t pple 2s? d) Bestäm momentnccelertionen vid t = 2,0 s e) Bestäm hstigheten vid den tidpunkt då ccelertionen är noll. f) Beräkn ccelertionen då hstigheten är noll. 3.4 Ett föremål rör sig med hstigheten v(t) =A Bt Ct 2 där A=2,00 m/s, B =0,250 m/s 2 och C =0,500 m/s 3. ) Hur stor är medelccelertionen under tiden 0 pple t pple 1,25 s? b) Hur långt rör sig prtikeln under denn tid? 3

4 3.5 En cyklist håller konstnt hstighet, v 0 = 36 km/h. Vid t = 0 slutr cyklisten tt trmp, och utsätts för ett motstånd som beror v hstigheten, så tt ccelertionen blir: (v) = kv 2, där konstnten k =0,0028 m 1. ) Härled först ett lgebriskt uttryck för v(t). Bestäm därefter hur lång tid det tr innn frten hr hlverts. b) Hur lång sträck hinner cykeln rull under denn tid? 3.6 En elektriskt lddd vätskedroppe rör sig längs en rät linje och studers i ett mikroskop. Droppen utsätts för elektrisk krfter så tt dess ccelertion,, beror på dess läge, x, enligt: (x) =6x + 2, där x uttryckt i enheter meter ger ccelertionen uttryckt i m/s 2.Dåx =0 är v = 10 m/s. Beräkn droppens hstighet som funktion v dess läge. Ledning: Utnyttj tt = dv dt = dv dx dx dt = dv dx v Kroklinjig rörelse 3.7 Ett cykelhjul med rdie R rullr med hstigheten V = V ˆx. En liten sten hr fstnt vid däckets periferi. Sett från sidn så kommer stenens bn tt beskriv en cykloid, där dess läge ges v funktionern x(t),y(t) nedn. y P x(t) = Vt R sin!t y(t) = R(1 cos!t) x där! = V/R. Q ) Bestäm hstighetsvektorn för stenen som funktion v tid. b) Bestäm tidpunkten då stenen befinner sig i punkten P, (dvs då y =2R) ochberäkn dess momentnhstighet där. c) Bestäm tidpunkten då stenen befinner sig i punkten Q (dvs då y = 0), och beräkn dess momentnhstighet där. 3.8 Plnetern rör sig runt solen i elliptisk bnor med Solen i en brännpunkten. En plnets läge i ellipsens pln ges lltså v: x(t) = cos!t y(t) = b sin!t där >boch! är konstnter smt 0 pple t pple 2. Solens läge är (x,y) =( p 2 b 2,0). Vis tt ccelertionsvektorn lltid är riktd mot origo. b y Solen x 4

3.9 Figurern nedn visr hstighets- och ccelertionsvektorer för ett föremål i en viss tidpunkt. Beskriv vd som händer med hstighetens belopp (dvs frten) och dess riktning i de tre fllen. v v A B C v 3.

5 3.9 Figurern nedn visr hstighets- och ccelertionsvektorer för ett föremål i en viss tidpunkt. Beskriv vd som händer med hstighetens belopp (dvs frten) och dess riktning i de tre fllen. v v A B C v 3.10 En bil kör genom en cirkultionsplts. Melln A till B beskriver bilens bn en kvrtscirkel med krökningsrdien 20 m. På denn körsträck ökr hstighetsmätrens utslg likformigt från 25 till 45 km/h. Beräkn beloppet v ccelertionsvektorn vid B. B R A 3.11 En åkttrktion på ett nöjesfält hr formen v ett stort hjul där åkrn sitter vid det rdiell vståndet 20 m. Hjulet snurrr i horisontlplnet och med vinkelhstigheten! = 0,10t från tiden t =0tillt = 5 s. Hur stor är den störst ccelertionen som en åkre utsätts för? 3.12 En prtikel rör sig längs en cirkelbn enligt ekvtionen s = t 3 +2t 2 [m] där s mäts längs cirkelns bn och t är tiden [s]. Vid tiden t = 2 s är den totl cccelertionen 16 p 2 m/s 2. Beräkn ur dess uppgifter cirkelns rdie,. 5

6 Reltiv rörelse 3.13 En student står längs frm i en buss som kör frmåt med konstnt hstighet. Studenten kstr en boll till nnn student som står längst bk i bussen. En person som står på gtn kommer då tt uppftt bollens frt som (A) mindre än den frt som studentern uppfttr. (B) lik med den frt som studentern uppfttr. (C) större än den frt som studentern uppfttr. (D) större, mindre eller lik med den frt som studentern uppfttr En polisbil kör bkom en fortkörre som fr frm med den konstnt hstigheten 180 km/h. Då polisen befinner sig på vståndet d = 160 m bkom fortkörren är polisbilens hstighet 72 km/h. ) Bestäm polisbilens hstighet reltivt fortkörren. b) Polisbilen försöker nu jg ikpp fortkörren och ccelererr med 3,75 m/s 2. Hur lång tid tr det innn polisen befinner sig på vståndet d = 10 m bkom fortkörren? POLIS d 3.15 Två flygpln, A och B, färds i smm höjd. A färds med hstigheten 800 km/h österut och B färds med hstigheten 600 km/h norrut, enligt figuren. De befinner sig på vståndet 100 km från punkten P. ) Bestäm A:s hstighet reltivt B, uttryckt på vektorform med hjälp v bsvektorern ˆx och ŷ. b) Bestäm A:s lägesvektor, reltivt B, som funktion v tiden. c) Vilket är det minst vståndet melln flygplnen då de korsr vrndrs väg? Utför räkningrn i enhetern km och km/h. A y^ x^ v A v B P B 3.16 En regnig dg gör en tågpssgerre följnde observtion. Då tåget kör med konstnt hstighet 15 m/s bildr spåren efter regndropprn på rutn vinkeln = 58 med lodlinjen. Då tåget hr stnnt blir = 0. Beräkn regndropprns frt (reltivt en stillstående observtör). θ 6

7 Svr Eventuell rättelser kommer tt finns på kursens hemsid: r 1 = (59ˆx + 76ŷ) pmochr 2 = (59ˆx 76ŷ) pm 1.2 ) 60 b) 0,051 nm 2 c) c i 2.2 dim C = L/T, dimd =1/T C, 2C, 3D, 4A, 5A 3.2 ) c 450 km/h (!) b) c 230 km/h 3.3 ) t =3s b) 0 c) 2,0 m/s d) -6,0 m/s 2 e) 3,0 m/s f) (0) = 6 m/s 2 och (2) = 6 m/s ) m/s 2 b) 1,98 m 3.5 ) v(t) = v 0 1+v 0 kt, 36 s b) s = 1 k ln(1 + v 0kt), 250 m 3.6 v(x) = p 6x 2 +4x ) v(t) =(V R! cos!t) ˆx + R! sin!tŷ b) 2V ˆx c) frten ökr i A, minskr i B, konstnt i C. Hstigheten ändrr riktning i A, B, C ,0 m/s ,4 m/s m 3.13 A 3.14 ) 108 km/h b) 20 s 3.15 ) [800ˆx 600ŷ] km/h b) [( t) ˆx + ( t) ŷ] km c) 20,0 km ,4 m/s 43

Relevanta dokument

Lösning, Analytisk mekanik, 5C1121, Tentamen,

Lösning, Analytisk mekanik, 5C1121, Tentamen, Kungl Teknisk Högskoln 005 03 11 Institutionen för Meknik Lösning, Anlytisk eknik, 5C111, Tenten, 005 03 11 Räkneproble Uppgift 1: En etllring hr ss M och rdie R. En punkt på dess periferi är upphängd